【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P(2,3), Q(2,-3)在椭圆上,A,B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点,
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足于∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】1);2)(1);(2)直线的斜率是一个定值.
【解析】
(1)根据抛物线焦点,求得b,再由离心率和椭圆中a、b、c的关系求得a、c的值,进而得到椭圆的标准方程。
(2)设出A、B的坐标,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理求得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4;由直线x=2与椭圆交于P,Q两点可求得P,Q两点的坐标,则四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ,即可得到面积的最大值;设出直线方程,联立椭圆方程,化简得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理得到AB斜率的表达形式,即可得到斜率为定值。
(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点(0,),∴b=.
再根据离心率,求得a=2,
∴椭圆C的方程为=1.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为y=x+t,代入椭圆C的方程化简可得x2+2tx+2t2-4=0,由Δ=4t2-4(2t2-4)>0,求得-2<t<2.
由根与系数的关系可得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.
在=1中,令x=2求得P(2,1),Q(2,-1),
∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=·PQ·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=,
故当t=0时,四边形APBQ的面积S取得最大值为4.
②当∠APQ=∠BPQ时,PA,PB的斜率之和等于零,设PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,PA的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆C的方程化简可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,
∴x2+2=.
同理可得直线PB的方程为y-1=-k(x-2),x2+2=,
∴x1+x2=,x1-x2=.
∴AB的斜率k=
=
=
=.
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【题目】若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足: 和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数, ,有下列命题:
①在内单调递增;
②和之间存在“隔离直线”,且的最小值为-4;
③和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是;
④和之间存在唯一的“隔离直线”.
其中真命题的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】已知数列{an}满足a1=3,a2,且2an+1=3an﹣an-1.
(1)求证:数列{an+1﹣an}是等比数列,并求数列{an}通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和为Tn,若对任意的正整数n恒成立,求k的取值范围.
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【题目】某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班(人数均为60人,入学数学平均分和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性都一样).现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩,得到茎叶图。 学校规定:成绩不得低于85分的为优秀
(1)根据以上数据填写下列的的列联表
甲 | 乙 | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
(2)是否有的把握认为成绩优异与教学方式有关?”(计算保留三位有效数字)
下面临界值表仅供参考:
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【题目】已知定义在上的函数和数列满足下列条件:,,当且时,且,其中、均为非零常数.
(1)若是等差数列,求实数的值;
(2)令(),若,求数列的通项公式;
(3)令(),若,数列满足,若数列有最大值,最小值,且,求的取值范围.
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【题目】某特色餐馆开通了美团外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数(份)与收入(元)之间有如下的对应数据:
外卖份数(份) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
收入(元) | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计外卖份数为12份时,收入为多少元.
注:①参考公式:线性回归方程系数公式, ;
②参考数据: , , .
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中点,AB=AA1=2.
(I)求证:平面AB1D⊥平面BB1C1C;
(II)求证:A1C∥平面AB1D;
(III)求三棱锥A1-AB1D的体积.
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【题目】下列结论正确的是( )
A.在中,若,则
B.在锐角三角形中,不等式恒成立
C.在中,若,,则为等腰直角三角形
D.在中,若,,三角形面积,则三角形外接圆半径为
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