Question

【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中点，AB=AA1=2.

（I）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；

（II）求证：A1C∥平面AB1D；

（III）求三棱锥A1-AB1D的体积.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析；（III）.

【解析】试题分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得出平面平面；

（2）连接，设，连接，由中位线定理可得，得到平面；

（3）根据，即可求得三棱锥的体积.

试题解析：

（I）证明：由已知△ABC为正三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC.因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，所以BB1⊥底面ABC.又因为AD底面ABC，所以BB1⊥AD.而B1BBC=B，所以AD⊥平面BB1C1C.因为AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C.

（II）证明：连接A1B，设A1BAB1=E，连接DE.

由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点.

因为D是BC的中点，所以DE∥A1C.

又因为DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

所以A1C∥平面AB1D.

（III）由（II）可知A1C∥平面AB1D，所以A1与C到平面AB1D的距离相等，

所以.由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且.

所以=×，

所以三棱锥A1-AB1D的体积为.