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    【题目】已知函数的图象过原点,且在处取得极值,直线与曲线在原点处的切线互相垂直.

    （Ⅰ）求函数的解析式；

    （Ⅱ）若对任意实数的,恒有成立,求实数的取值范围.

    【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

    【解析】试题分析：

    (Ⅰ)由题意结合导函数研究函数切线的方法，得到关于实数a,b的方程，求得实数a,b的值可得函数的解析式为

    (Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的函数的解析式可得函数f(x)的最大值是2,最小值为-2，据此可得实数的取值范围是.

    试题解析：

    (I)

    图象过原点,

    ①

    曲线在原点处切线斜率

    又直线与切线垂直,

    代入①得a=0,

    (II)由(I)

    易知上为增函数,在[-1,1]上为减函数

    又

    上的最大值是2,最小值为-2

    要使对任意恒成立,只需

    即

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    【题目】《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=尺．

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    【题目】如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．
    （1）求BD2的值；
    （2）求线段AE的长．

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    【题目】(本小题满分12分)

    已知函数（其中a是实数）．

    （1）求的单调区间；

    （2）若设，且有两个极值点 ，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

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    【题目】为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．

    男生

    女生

    合计

    优秀

    不优秀

    合计

    （Ⅰ）求a和n的值；

    （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m；

    （Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．

    参考公式和数据：K2= ．

    P（K2≥k）

    0.50

    0.05

    0.025

    0.005

    k

    0.455

    3.841

    5.024

    7.879

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知f （ x）= x2 ， g （ x）=a ln x（a＞0）．
    （Ⅰ）求函数 F （ x）=f（x）g（x）的极值
    （Ⅱ）若函数 G（ x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）在区间 （ ，e） 内有两个零点，求的取值范围；
    （Ⅲ）函数 h（ x）=g （ x ）﹣x+ ，设 x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若 h（ x 2）﹣h（ x 1）存在最大值，记为 M （a），则当 a≤e+1 时，M （a） 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表

    商店名称

    A

    B

    C

    D

    E

    销售额x（千万元）

    3

    5

    6

    7

    9

    利润额y（百万元）

    2

    3

    3

    4

    5


    （1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性．
    （2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
    （3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．

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    【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表

    组别

    PM2.5浓度
    （微克/立方米）

    频数（天）

    频率

    第一组

    （0，25]

    3

    0.15

    第二组

    （25，50]

    12

    0.6

    第三组

    （50，75]

    3

    0.15

    第四组

    （75，100]

    2

    0.1


    （1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
    （2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图． ①求图中a的值；
    ②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．

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    【题目】为了了解初三女生身高情况，某中学对初三女生身高情况进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：

    组　别

    频数

    频率

    145.5～149.5

    1

    0.02

    149.5～153.5

    4

    0.08

    153.5～157.5

    20

    0.40

    157.5～161.5

    15

    0.30

    161.5～165.5

    8

    0.16

    165.5～169.5

    m

    n

    合　计

    M

    N


    （1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
    （2）画出频率分布直方图；
    （3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？

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