Question

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），其中a∈R，e为常数，e≈2.718．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线与直线3x+ey+2=0平行，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=e^x（ax²-2x-2）+e^x（2ax-2）=e^x（ax²-（2-2a）x-4），从而可得f′（-1）=e^-1（a+（2-2a）-4）=-3•e^-1，从而求得a=1；再求极值；
（Ⅱ）当a＞0时，f′（x）=e^x（ax²-（2-2a）x-4）=e^x（x+2）（ax-2），讨论a以确定函数的单调性，从而求最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（ax²-2x-2），
∴f′（x）=e^x（ax²-2x-2）+e^x（2ax-2）
=e^x（ax²-（2-2a）x-4），
故f′（-1）=e^-1（a+（2-2a）-4）=-3•e^-1，
故a=1；
故f（x）=e^x（x²-2x-2），
f′（x）=e^x（x²-4）=e^x（x+2）（x-2）；
故f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上是增函数，
在（-2，2）上是减函数；
故函数f（x）在x=-2处有极大值f（-2）=

6

e2

；
在x=2处有极小值f（2）=-2e²；
（Ⅱ）当a＞0时，f′（x）=e^x（ax²-（2-2a）x-4）
=e^x（x+2）（ax-2），
当0＜a≤2时，f（x）在[0，1]上是减函数，
故f（|sinx|）的最小值为f（1）=e（a-4）；
当a＞2时，f（x）在[0，

2

a

]上是减函数，[

2

a

，1]上是增函数，
故f（|sinx|）的最小值为f（

2

a

）=e

2

a

（

4

a

-

4

a

-2）=-2e

2

a

．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．