Question

设函数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，记过点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=1+，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①当-2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＜-2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x₁=，x₂=，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；当x＞x₂时，f′（x）＞0；
故f（x）分别在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减．
（Ⅱ）由（I）知，a＞2．
因为f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+-a（lnx₁-lnx₂），
所以k==1+-a，
又由（I）知，x₁x₂=1．于是
k=2-a，
若存在a，使得k=2-a，则=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即 （*）
再由（I）知，函数在（0，+∞）上单调递增，
而x₂＞1，
所以＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．
分析：（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）假设存在a，使得k=2-a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．