Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD．PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，知BD⊥PA．由tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，知∠ABD=30°，∠BAC=60°．由此能够证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）连接PE，由BD⊥平面PAC，知BD⊥PE，BD⊥AE．所以∠AEP为二面角P-BD-A的平面角，由此能够求出二面角P-BD-A的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．
∴BD⊥PA．…（2分）
∵tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）连接PE，
∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE．
∴∠AEP为二面角P-BD-A的平面角．…（8分）
在Rt△AEB中，AE=ABsin∠ABD=

3

，
∴tan∠AEP=

AP

AE

=

3

，
∴∠AEP=60°，
∴二面角P-BD-A的大小为60°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．