Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值；
（3）在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C-AN-E的平面角为60°．存在求出λ值．

Answer 1

解：（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），M（1，，1），N（1，0，1），P（0，0，2），
∵=（2，0，-2），=（1，-，1），∴=0，∴PB⊥DM．
（2）由（1）可得：=（-2，1，0），=（0，2，0），=（1，0，1）．
设平面ADMN法向量=（x，y，z），
则得到，令x=1，则z=-1，y=0，∴=（1，0，-1）．
设CD与平面ADMN所成角α，则．
（3）假设在棱PD上存在点E（0，m，2-m），满足条件．
设平面ACN法向量=（x，y，z），由，，，
可得，令x=1，则y=-2，z=-1，∴=（1，-2，-1）．
设平面AEN的法向量=（x₀，y₀，z₀），由，，，
可得，令x₀=1，则z₀=-1，，∴．
∴cos60°=，得，化为，
化为23m²-52m+20=0，又m∈[0，2]．
解得，满足m∈[0，2]．
∴λ=PE：ED=：=m：（2-m）=．
分析：（1）建立空间直角坐标系，利用?即可证明；
（2）先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；
（3）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用?、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．