Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC，证明AC⊥BD，证明PA⊥BD，PA∩AC=A，推出BD⊥平面PAC，然后证明平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依题意得说明ABD是边长为

3

的正三角形，然后直接求解，四棱锥P-ABCD的体积V．

解答：解：（Ⅰ）连接AC，∵BC=CD，AB=AD，
∴AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD
∴PA⊥BD           
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC                       
又BD?平面BDP
∴平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依题意得∠CBD=∠CDB=30°，
又BC⊥AB，CD⊥AD，
所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a，
∴BD=

3

a
∴△ABD是边长为

3

a的正三角形   
∴V=

1

3

(S△BCD+S△ABD)•PA=

1

3

(

1

2

•BC•CD•sin1200+

1

2

•AD•AB•sin600)•a
=

1

6

(

3

2

a2+

3

2

×3a2)•a=

3

3

a3

点评：本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．