Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）证明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

Answer 1

分析：（1）通过已知PA=2，PD=2

2

得到勾股定理，根据线面垂直即可证明线线垂直．
（2）通过把二面角转化为其平面角PEH，然后在RT△PHE中，求出其正切值即可．

解答：（1）证明：在△PAD中，
由题设PA=2，PD=2

2

可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．
又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
PB?面PAB，所以AD⊥PB
（2）解：过点P做PH⊥AB于H，
过点H做HE⊥BD于E，连接PE
因为AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，
所以AD⊥PH．
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．所以，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，BH=AB-AH=2，BD=

AB2+AD2

=

13

，HE=

AD

BD

•BH=

4

13

，
于是在RT△PHE中，tanPEH=

39

4

，
所以二面角P-BD-A的正切值大小为

39

4

．

点评：本题考查线面垂直的判定，以及二面角的证明，通过对四棱锥的考查，以及直角三角形的考查，得到要求的结果，属于中档题．