Question

已知(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展开式中偶数项二项式系数的和比（a+b）ⁿ展开式的各项系数和大112．
（1）求n；
（2）在（1）的条件下，求（a-b）²ⁿ展开式中系数最大的项；
（3）求(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展开式中的所有的有理项．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

22n

2

-2ⁿ=112，解得2ⁿ=16，可得n=4．
（2）（a-b）²ⁿ =（a-b）⁸ 开式中系数最大的项为 T₅=

C

4 8

•a⁴•（-b）⁴，化简可得结果．
（3）在(

3	x

-

1

2 3 x

)2n 的展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数

8-2r

3

，且0≤r≤8，可得r=1，4，7，从而求得展开式中的所有的有理项．

解答：解：（1）由题意可得

22n

2

-2ⁿ=112，故有（2ⁿ-16）（2ⁿ+14）=0，∴2ⁿ=16，解得n=4．
（2）（a-b）²ⁿ =（a-b）⁸ 开式中系数最大的项为 T₅=

C

4 8

•a⁴•（-b）⁴=70a⁴•b⁴．
（3）(

3	x

-

1

2 3 x

)2n=(

3	x

-

1

2 3 x

)8展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

3

•(-

1

2

)r•x-

r

3

 
=(-

1

2

)r•

C

r 8

•x

8-2r

3

．
再根据

8-2r

3

为整数且0≤r≤8，可得 r=1，4，7，
故有理项为

C

1 8

•(-

1

2

)1•x2=-4x²；

C

4 8

•(-

1

2

)4•x0=

35

8

；

C

7 8

•(-

1

2

)7•x-2=-

1

16

x^-2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．