Question

已知(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展开式中偶数项二项式系数的和比（1+x）ⁿ展开式的各项系数和大112．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求（1-x）²ⁿ展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）在（1）的条件下，求(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展开式中的所有的有理项．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，由此求得n的值．
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，从而可得（1-x）⁸展开式中系数最大的项是第五项，根据通项公式求得 T₅．
（Ⅲ）设有理项为第r+1项，根据通项公式 可得

8-2r 3 ∈z 0r≤8 ，  r∈z

，求得r=1，4，7，从而得到展开式中的所有的有理项．

解答：解：（1）由题意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，2²ⁿ-2•2ⁿ-224=0，解得 n=4．…..（4分）
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，从而，（1-x）⁸展开式中系数最大的项是：T₅=

C

4 8

（-x）⁴=70x⁴．  …（8分）
（Ⅲ）设有理项为第r+1项，则 T_r+1=

C

r 8

•(-

1

2

)r•x

r

3

=(-

1

2

)r•

C

r 8

•x

8-2r

3

，∴

8-2r 3 ∈z 0r≤8 ，  r∈z

．
令

8-2r

3

=k 则，r=4-

3

2

k，∴k=-2，0，2，即 r=1，4，7．
所以第2项，第5项，第8项为有理数，它们分别是 T₂=-

1

2

C

1 8

•x²=-4x²，T₅=(-

1

2

)4•

C

4 8

•x⁰=

35

8

，
T₈=(-

1

2

)7•

C

7 8

•x^-2．…..13 分

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．