Question

已知方程

|sinx|

x

=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（　　）

• A、sin2α=2αcos²α
• B、cos2α=2αsin²α
• C、sin2β=2βcos²β
• D、cos2β=2βsin²β

Answer 1

分析：由题意可得，y=|sin x|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上有且仅有两个公共点，故直线y=kx与y=|sin x|在（π，

3

2

π）内相切，且切于点（β，-sin β），切线的斜率为-cos β=

-sinβ

β

，化简可得结论．

解答：解：∵

|sinx|

x

=k，∴|sin x|=kx，
∴要使方程

|sinx|

x

=k（k＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，
则y=|sin x|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上
有且仅有两个公共点，
所以直线y=kx与y=|sin x|在（π，

3

2

π）内相切，
且切于点（β，-sin β），
∴切线的斜率为-cos β=

-sinβ

β

，∴βcos β=sin β，
∴sin 2β=2sin βcos β=2βcos²β，
故选：C．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于中档题．