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已知实系数二次函数f(x)=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1,都有|f(x)|≤1.
(1)若f(x)=2x2-1,g′(x)=f(x),且g(0)=0,数列{an}满足an=g(an-1),问数列{an}能否构成等差数列,若能,请求出满足条件的所有等差数列;若不能,请说明理由;
(2)求|a|+|b|+|c|的最大值.
【答案】分析:(1)设g(x)=dx3+ex2+hx+k,则g′(x)=3dx2+2ex+h=2x2-1,所以,由g(0)=0,知,.由此能求出求出满足条件的所有等差数列.
(2)f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,三者都属于[-1,1],设w=|a|+|b|+|c|,不妨设a>0,再进行分类讨论能求出|a|+|b|+|c|的最大值.
解答:解:(1)设g(x)=dx3+ex2+hx+k,
则g′(x)=3dx2+2ex+h=2x2-1,
∴3d=2,2e=0,h=-1,

又g(0)=0,
∴k=0,

若数列{an}构成等差数列,
可设an=un+v,u,v为常数,
∵an=g(an-1),
∴an+1=g(an),
∴v+(*),
当u=0时,(*)简化为
由此解得:
所以数列{an}能构成等差数列:
①0,0,0,…;②,…;③.(4分)
(2)f(0)=c,
f(1)=a+b+c,
f(-1)=a-b+c,
三者都属于[-1,1],
设w=|a|+|b|+|c|,不妨设a>0,
①b,c≥0时,w=a+b+c=f(1)<=1;
②b,c<0时,w=a-b-c=f(-1)-2f(0)≤3;
③b≥0>c时,w=a+b-c=f(1)-2f(0)≤3;
④c≥0>b时,w=a-b+c=f(-1)≤1.
当a=2,b=0,c=-1时f(x)=2x22-1满足题设,w=3.
∴所求最大值为3.
点评:本题考查数列与函数的综合应用,对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,注意计算能力的培养.
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