Question

(本小题满分14分)已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和．

（1）求、和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有

的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），，．

（2）的取值范围是．

（3）当且仅当， 时，数列中的成等比数列．

【解析】本试题主要是考查了数列通项公式与前n项和之间的关系的运用以及分类讨论思想求解最值。

（1）利用 a_n²=S_2n-1，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；

（2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．

（3）根据已知值成等比数列，可知参数m的范围，然后利用m是整数，得到值。

解：（1）（法一）在中，令，，

得   即       ………………………2分

解得，，                        …………………3分

．

，

．        ……………………5分

（法二）是等差数列，

．                …………………………2分

由，得 ，                        

又，，则．               …………………3分

(求法同法一)

（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       …………………………………6分

 ，等号在时取得．           

此时 需满足．                …………………………7分

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．        ……………………………8分

 是随的增大而增大， 时取得最小值．

此时 需满足．                …………………………9分

综合①、②可得的取值范围是．   …………………………10分

（3），

 若成等比数列，则，即．11分

（法一）由，　　可得，

即，  　　　……………………12分

．     ……………………13分

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…………14分

（法二）因为，故，即，

，（以下同上）．…………………13分