Question

已知一列非零向量

an

，n∈N^*，满足：

a1

=（10，-5），

an

=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，（n³2 ）．，其中k是非零常数．
（1）求数列{|

an

|}是的通项公式；
（2）求向量

an-1

与

an

的夹角；（n≥2）；
（3）当k=

1

2

时，把

a1

，

a2

，…，

an

，…中所有与

a1

共线的向量按原来的顺序排成一列，记为

b1

，

b2

，…，

bn

，…，令

OBn

=

b1

+

b2

+…+

bn

，O为坐标原点，求点列{B_n}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（t_n，s_n），且

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

sn=s，则称点B（t，s）为点列的极限点．）

Answer 1

分析：（1）由题意得出

| an |

| an-1 |

=

2

|k|，从而{|

an

|}是首项为5

5

公比为

2

|k|的等比数列．利用等比数列的通项公式即可求得
数列{|

an

|}是的通项公式；
（2）由向量的数量积公式得：

an

•

an-1

=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）=k（x_n-1²+y_n-1²）=k|

an-1

|2．
从而求得cos＜

an

，

an-1

＞下面分两种情形：当k＞0时，当k＜0时，求得向量

an-1

与

an

的夹角即可；
（3）当k=

1

2

时，由（2）知：4＜

an

，

an-1

＞=p，由于每相隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，得到与向量

a1

共线的向量，记

an

的单位向量为

ano

，利用条件求得

OBn

=(tn，sn)，最后利用等比数列的求和公式结合数列的极限即可求得点列{B_n}的极限点B的坐标．

解答：解：（1）|

an

|=

x 2 n + y 2 n

=

k2[(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2]

（2分）
=

2

|k|

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

|k||

an-1

|，（n≥2），
∴

| an |

| an-1 |

=

2

|k|≠0，|

a1

|=5

5

．
∴{|

an

|}是首项为5

5

公比为

2

|k|的等比数列．
∴

an

=5

5

（

2

|k|）^n-1（2分）
（2）

an

•

an-1

=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）
=k（x_n-1²+y_n-1²）=k|

an-1

|2．
∴cos＜

an

，

an-1

＞=

k| an-1 |2

| an || an-1 |

=

2 2 k＞0 - 2 2 k＜0

，（2分）
∴当k＞0时，＜

an

，

an-1

＞=

π

4

，
当k＜0时，＜

an

，

an-1

＞=

3π

4

．（2分）
（3）当k=

1

2

时，由（2）知：4＜

an

，

an-1

＞=p，
∴每相隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，
∴与向量

a1

共线的向量为：{

a1

，

a5

，

a9

，

a13

，}
={

b1

，

b2

，

b3

，

b4

}，（2分）
记

an

的单位向量为

ano

，则

a1

=|

a1

|

a10

，
则

an

=|

an

|

ano

=|a₁|（

2

|k|）^n-1

ano

bn

=

a4n-3

=|a₁|（

2

|k|）^4n-4（-1）^n-1

a10

=

a1

（-4|k|⁴）^n-1=（10，-5）（-

1

4

）^n-1（2分）
设

OBn

=(tn，sn)，
则t_n=10[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2++(-

1

4

)n-1]=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

，
∴

lim

n-∞

tn=8，

lim

n-∞

sn=-5

1

1-(- 1 4 )

=-4．
∴点列{B_n}的极限点B的坐标为（8，-4）．（2分）

点评：本小题主要考查等比数列的通项公式、数量积表示两个向量的夹角、数列的极限等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．