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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,f(x)≤.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:a>0,c>0;
(3)当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx (x∈R)是单调函数,求证:m≤0或m≥1.
(1)f(1)=1.   (2)见解析   (3)见解析
(1)解 ∵对x∈R,f(x)-x≥0恒成立,
当x=1时,f(1)≥1,
又∵1∈(0,2),由已知得f(1)≤=1,
∴1≤f(1)≤1.∴f(1)=1.
(2)证明 ∵f(1)=1,∴a+b+c=1.
又∵a-b+c=0,∴b=.∴a+c=.
∵f(x)-x≥0对x∈R恒成立,
∴ax2x+c≥0对x∈R恒成立.
, ∴∴c>0,故a>0,c>0.
(3)证明 ∵a+c=,ac≥
由a>0,c>0及a+c≥2,得ac≤
∴ac=,当且仅当a=c=时,取“=”.
∴f(x)=x2x+.
∴g(x)=f(x)-mx=x2x+
[x2+(2-4m)x+1].
∵g(x)在[-1,1]上是单调函数,
∴2m-1≤-1或2m-1≥1.∴m≤0或m≥1.
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D.

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