Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

3n2-n

2

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1；当n=1时，a₁=S₁”即可得出；
（2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比数列．利用等比数列的定义可得

a

2 n

=a1am，即（3n-2）²=1×（3m-2），解出m为正整数即可．

解答： （1）解：∵S_n=

3n2-n

2

，n∈N^*．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3n2-n

2

-

3(n-1)2-(n-1)

2

=3n-2，（*）
当n=1时，a₁=S₁=

3×12-1

2

=1．
因此当n=1时，（*）也成立．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2．
（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比数列．
则

a

2 n

=a1am，
∴（3n-2）²=1×（3m-2），
化为m=3n²-4n+2，
∵n＞1，
∴m=3n²-4n+2=3(n-

2

3

)2+

2

3

≥1，
因此对任意的n＞1，都存在m=3n²-4n+2∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比数列．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．