Question

已知函数f（x）=|x|（x-4）
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）根据函数图象指出函数y=f（x）的零点和单调区间；
（3）讨论关于x的方程|x|（x-1）=k实数解的个数．

Answer 1

分析：本题考查的是分段函数问题．在解答时，对（1）去绝对值从而获得函数f（x）的解析式；根据自变量的取值范围不同分别不同段上的函数图象即可，注意是两部分开口不同的二次函数图象，（2）由图象直接读出函数的单调区间函数的零点即可；对（3）关于x的方程|x|（x-1）=k实数解的个数即为函数f（x）的图象与直线y=k的交点个数，根据图象即可求得结果．

解答：解：（1）f（x）=|x|（x-4）=

-x2+4x，x＜0 x2-4x，x≥0

图象如图：
（2）函数f（x）的单调递增区间是 （-∞，0]和[4，+∞），f（x）的单调递减区间是[0，4]；函数的零点为0和4．
（3）关于x的方程|x|（x-1）=k实数解的个数即为函数f（x）的图象与直线y=k的交点个数，
由函数 图象知：当k＞0或k＜-4时，有1个交点，即关于x的方程|x|（x-1）=k有1个实数解；
当k=0或k=-4时，有2个交点，即关于x的方程|x|（x-1）=k有2个实数解；
当-4＜k＜0时，有3个交点，即关于x的方程|x|（x-1）=k有3个实数解．

点评：本题考查的是分段函数问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．属中档题．