Question

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q(n∈N*，p＞0)，数列{b_m}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
(Ⅰ)若p=，q=，求b₃；
(Ⅱ)若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和的公式；
(Ⅲ)是否存在p和q，使得b_m=3m+2(m∈N*)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意得，解得，
所以使得成立的所有n中的最小正整数为7，即b₃=7。
(Ⅱ)由题意得a_n=2n-1，
对正整数m，由a_n≥m得，
根据b_m的定义可知，当m=2k-1时，b_m=k(k∈N*)；
当m=2k时，b_m=k+1(k∈N*)，
所以b₁+b₂+…+b_2n=(b₁+b₃+…+b_2m-1)+(b₂+b₄+… +b_2m)
=(1+2+3+…+m)+[2+3+4+…+(m+1)]
=。
(Ⅲ)假设存在p，q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得，
因为b_m=3m+2(m∈N*)，
由b_m的定义可知，对于任意的正整数m都有，
即-2p-q≤(3p-1)m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾；
当3p-1=0，即时，得，解得（经检验符合题意），
所以存在p和q，使得b_m=3m+2(m∈N*)；
p和q的取值范围分别是。