Question

已知f（x）=x³+3x²-9x+1，
（1）求f（x）的单调区间和极值．
（2）求f（x）在区间[-4，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+6x-9，
由f′（x）＞0，得x＜-3或x＞1，由f′（x）＜0，得-3＜x＜1，
所以f（x）的增区间是（-∞，-3），（1，+∞），减区间是（-3，1）．
所以当x=-3时f（x）取得极大值f（-3）=28，当x=1时f（x）取得极小值f（1）=-4．
（2）f（-4）=21，f（4）=77，又由（1）知极大值f（-3）=28，极小值f（1）=-4，
所以f（x）在[-4，4]上的最大值为77，最小值为-4．
分析：（1）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值；
（2）求出函数在区间端点处的函数值，与极值作比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与闭区间上的最值问题，准确求导，弄清导数与函数性质间的关系是解题关键．