Question

【题目】设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.

(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;

(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析

【解析】

(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.

(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.

(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.

(Ⅰ)，，故，，，.

故四边形的面积为.

(Ⅱ)设为，则，故，

设，，故，

，

同理可得，

，故，

即，，故.

(Ⅲ)设中点为，则，，

相减得到，即，

同理可得：的中点，满足，

故，故四边形不能为矩形.