Question

13．已知圆C：x²+y²-4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°（C为圆心），过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆C相交于M，N两点．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若|MN|≥4，求k的取值范围；
（Ⅲ）若向量$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$与向量$\overrightarrow{OC}$共线（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知，△ABC为等腰直角三角形．设A，B的中点为D，连接CD，则△ACD也为等腰直角三角形，即可求实数m的值；
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+2，求出圆心（2，-1）到直线y=kx+2的距离，由$r=2\sqrt{2}$，|MN|≥4，可得$\frac{|2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}≤2$，即可解得k的取值范围；
（Ⅲ）若向量$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$与向量$\overrightarrow{OC}$共线（O为坐标原点），则$\frac{6k-4}{{1+{k^2}}}=2×\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}$，即2k²-k-6=0，从而求k的值．

解答 解：（Ⅰ）由C：x²+y²-4x+2y+m=0得（x-2）²+（y+1）²=-m+5，
所以圆心C（2，-1），r²=5-m．-----------------------（2分）
由题意知，△ABC为等腰直角三角形．
设A，B的中点为D，连接CD，则△ACD也为等腰直角三角形，
∴$AC=\sqrt{2}CD=2\sqrt{2}$，∴5-m=8，m=-3．-----------------------（4分）
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+2，
则圆心（2，-1）到直线y=kx+2的距离$d=\frac{|2k+1+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{|2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$-------（5分）
由$r=2\sqrt{2}$，|MN|≥4，可得$\frac{|2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}≤2$，解得$k≤-\frac{5}{12}$
所以k的取值范围为$（-∞，-\frac{5}{12}]$-------------（7分）
（Ⅲ）联立直线与圆的方程$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+2y-3=0\\ y=kx+2\end{array}\right.$，
消去变量y得（1+k²）x²+（6k-4）x+5=0，-------------（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理得${x_1}+{x_2}=\frac{4-6k}{{1+{k^2}}}$，
因为直线与圆C相交于不同的两点M，N，
则有△=（6k-4）²-20（1+k²）＞0，整理得4k²-12k-1＞0，
解得$k＞\frac{{3+\sqrt{10}}}{2}$或$k＜\frac{{3-\sqrt{10}}}{2}$-------------（10分）
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+x_2^{\;}）+4=\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）=（\frac{4-6k}{{1+{k^2}}}，\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}）$，$\overrightarrow{OC}=（2，-1）$，
若向量$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$与向量$\overrightarrow{OC}$共线，则$\frac{6k-4}{{1+{k^2}}}=2×\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}$，
2k²-k-6=0⇒k=2或$k=-\frac{3}{2}$．-------------（13分）
经检验k=2不满足$k＞\frac{{3+\sqrt{10}}}{2}$或$k＜\frac{{3-\sqrt{10}}}{2}$，
所以存在实数$k=-\frac{3}{2}$满足题意．-------------（14分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．