Question

已知两定点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）满足条件|PF₂|-|PF₁|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）当|AB|=6

3

时，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的定义，求得曲线E的方程，与直线方程联立，消去y，根据直线与双曲线左支交于两点A，B，结合韦达定理，可求k的取值范围；
（2）先表示出|AB|，利用|AB|=6

3

，求出直线AB的方程，即可求△AOB的面积．

解答：解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）为焦点的双曲线的左支，且c=

2

，a=1，所以b=1，故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 x1•x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1．
（2）∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

=

1+k2

( -2k 1-k2 )2

-4×

-2

1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依题意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，整理后得28k⁴-55k²+25=0．
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

．
故直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0
∴S_△AOB=

1

2

×

2

3

×6

3

=2

3

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长计算，考查三角形的面积，正确运用韦达定理是关键．