Question

已知两定点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）满足条件|

PF2

| -|

PF1

| =2的点P的轨迹方程是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且|

AB

| =

2 5

3

．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C上存在一点D，使

OA

+

OB

=m

OD

，求m的值及点D到直线AB的距离．

Answer 1

分析：（1）由已知两定点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）满足条件|

PF2

| -|

PF1

| =2，可知轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，进而可求曲线C的方程；
（2）将直线方程代入双曲线的方程，利用弦长公式求AB的长，从而可得直线的斜率，进而利用向量求出点D的坐标，利用D满足曲线C的方程，即可求m的值及点D到直线AB的距离．

解答：解：（1）由已知两定点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）满足条件|

PF2

| -|

PF1

| =2，可知轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支．
∵2a=2，∴a=1，
∵c=

2

，∴b²=c²=a²=1
∴曲线C的方程为x²-y²=1（x≤-1）
（2）由

y=kx-2 x2-y2=1

得（1-k²）x²+4kx-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则

1-k2≠0 △=20-4k2＞0 x1+x2=- 4k 1-k2 ＜0 x1•x2= -5 1-k2 ＞0

，解之得-

5

＜k＜-1
∴|AB| =

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

 • 

20-4k2

|1-k2|

=

2 5

3

，解之得k²=4
又∵-

5

＜k＜-1
∴k=-2
∴x1+x2=-

8

3

y1+y2=(-2x1-2)+(-2x2-2)=-2(x1+x2)-4=

4

3

由

OA

+

OB

=m

OD

得D (

1

m

(x1+x2)，

1

m

(y1+y2))，即D(-

8

3m

， 

4

3m

)
∵D在x²-y²=1（x≤-1）上，
∴(-

8

3m

)2-(

4

3m

)2=1  (m＞0)，∴m=

4 3

3

∴D（-

2 3

3

，  

3

3

）    
∵直线AB：2x+y+2=0
∴点D到直线AB的距离为d=

|2×(- 2 3 3 )+ 3 3 +2|

22+12

=

2- 3

5

=

2 5 - 15

5

点评：本题重点考查双曲线的轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式，综合性较强．