Question

11．过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线AB：y=2（x+a），A（-a，0），C（0，2a），利用$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$，求出B的坐标，代入椭圆方程，求解离心率．
（Ⅱ）设椭圆方程为3x²+4y²-12t=0，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM⊥QM数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x₁，y₁）
令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），-------------------（1分）
∴$\overrightarrow{AB}=（{x_1}+a，{y_1}），\overrightarrow{BC}=（-{x_1}，2a-{y_1}）$
∵$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$
∴x₁+a=$\frac{6}{13}（-{x_1}），{y_1}=\frac{6}{13}（2a-{y_1}）$，整理得${x_1}=-\frac{13}{19}a，{y_1}=\frac{12}{19}a$------------（2分）
∵B点在椭圆上，∴${（\frac{13}{19}）^2}+{（\frac{12}{19}）^2}•\frac{a^2}{b^2}=1$，∴$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$，即$1-{e^2}=\frac{3}{4}$，∴$e=\frac{1}{2}$-------------------（4分）
（Ⅱ）∵$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，可设b²=3t．a²=4t，∴椭圆的方程为3x²+4y²-12t=0
由$\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+4{y^2}-12t=0\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0-------------------（5分）
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P
∴△=0，即64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12t）=0
整理得m²=3t+4k²t------------------（8分）                                 
设P（x₁，y₁）则有${x_1}=-\frac{8km}{{2（3+4{k^2}）}}=-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}$，${y_1}=k{x_1}+m=\frac{3m}{{3+4{k^2}}}$
∴$P（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$
又M（1，0），Q（4，4k+m）
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴$（1+\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，-\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）•（-3，-（4k+m））=0$恒成立
整理得3+4k²=m²，------------------（10分）
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$------------------（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，知识综合性强．