Question

14．已知{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是a_n的前n项和，且$\frac{{S}_{4}}{{S}_{8}}$=$\frac{1}{17}$，则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前5项和是$\frac{31}{16}$或$\frac{11}{16}$．

Answer 1

分析 根据等比数列的前n项和公式，对公比q进行分类讨论，列出关于q的方程求出q，代入通项公式求出a_n，再求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，利用等比数列的前n项和公式求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5项的和．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比是q，且首项为1，
若q=1时，不满足$\frac{{S}_{4}}{{S}_{8}}$=$\frac{1}{17}$，所以q=1不成立；
若q≠1，由$\frac{{S}_{4}}{{S}_{8}}$=$\frac{1}{17}$，得17×$\frac{1-{q}^{4}}{1-q}$=$\frac{1-{q}^{8}}{1-q}$，
化简得，q⁴=16，解得q=2或q=-2，
q=2时，a_n=2^n-1，$\frac{1}{{a}_{n}}$=2^1-n，所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前5项和是$\frac{1-\frac{1}{{2}^{5}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{16}$，
q=-2时，a_n=（-2）^n-1，$\frac{1}{{a}_{n}}$=（-2）^1-n，所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}前5项和是$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{5}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{11}{16}$，
故答案为：$\frac{31}{16}$或$\frac{11}{16}$．

点评 本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及分类讨论思想．