Question

4．已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
（1）求tan2α的值；
（2）求β．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
（2）由条件求得sin（α-β）的值，利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[α-（α-β）]的值，从而求得β的值．

解答 解：（1）由cosα=$\frac{1}{7}$，0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，可得sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=4$\sqrt{3}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{8\sqrt{3}}{1-48}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$．
（2）由cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，可得sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=$\frac{1}{7}×\frac{13}{14}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$，
∴β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题．