Question

14．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sin75°}$，从而解得a的值，利用大边对大角的知识即可知a为三角形最小边，从而得解．

解答 解：∵由题意，不妨设A=45°，B=60°，则c=1，C=180°-A-B=75°，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sin75°}$，
∵sin75°=sin[180°-（60°+45°）]=sin（60°+45°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
∴解得：a=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin75°}$=$\sqrt{3}-1$，
∵A＜B＜C，故最小边长为a=$\sqrt{3}-1$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，大边对大角等知识的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题．