Question

4．已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，求：
（1）$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$；
（2）sin²α+2sinαcosα

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值，可得$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$的值．
（2）把tanα的值，代入$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$，计算求得结果．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，∴1+2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$．
再根据 sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}$=-$\frac{12}{25}$，求得tanα=-$\frac{4}{3}$，或tanα=-$\frac{3}{4}$．
当tanα=-$\frac{4}{3}$，$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$=$\frac{-\frac{4}{3}-4}{-\frac{20}{3}+2}$=$\frac{8}{7}$；
当tanα=-$\frac{3}{4}$，$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$=$\frac{-\frac{3}{4}-4}{-\frac{15}{4}+2}$=-$\frac{19}{7}$．
（2）当tanα=-$\frac{4}{3}$，sin²α+2sinαcosα=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α+2tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{16}{9}-\frac{8}{3}}{\frac{16}{9}+1}$=-$\frac{8}{25}$，
当tanα=-$\frac{3}{4}$，sin²α+2sinαcosα=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α+2tanα}{{tan}^{2}α+1}$=-$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．


当α为第四象限角时，若cosα=$\frac{4}{5}$，sinα=-$\frac{3}{5}$，则tanα=-$\frac{3}{4}$，此时满足sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，为什么不行的？请给指导，谢谢