Question

15．△ABC的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记m_a，m_b，m_c，应用余弦定理证明：
m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{b}^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$，m_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-{b}^{2}}$，m_c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）-{c}^{2}}$．

Answer 1

分析 设BC边上的中线为AD，分别在△ABD和△ACD中，运用余弦定理，结合诱导公式，两式相加即可得到m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{b}^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$，同理可证m_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-{b}^{2}}$，m_c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）-{c}^{2}}$．

解答 证明：设BC边上的中线为AD，
在△ABD中，c²=m_a²+（$\frac{1}{2}$a）²-2•$\frac{1}{2}$a•m_a•cos∠ADB，①
在△ACD中，b²=m_a²+（$\frac{1}{2}$a）²-2•$\frac{1}{2}$a•m_a•cos∠ADC，②
由于∠ADB+∠ADC=π，
则cos∠ADB+cos∠ADC=0，
①+②，可得c²+b²=2m_a²+$\frac{1}{2}$a²，
即有m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{b}^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$，
同理可证m_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-{b}^{2}}$，
m_c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）-{c}^{2}}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，同时诱导公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．