Question

3．设函数f（x）=x³+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值为m，最小值为n，且m+n=a²-2，则a=-1或2．

Answer 1

分析 求得f（-x）+f（x）=a，f（x）的图象关于点（0，$\frac{a}{2}$）对称．则在区间[-2015，2015]上有m+n=a，结合条件，可得a的方程，即可解得a．

解答 解：由f（x）=x³+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$，
f（-x）+f（x）=（-x）³+$\frac{a}{{2}^{-x}+1}$+x³+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$
=（-x³+x³）+（$\frac{a}{{2}^{-x}+1}$+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$）
=0+a（$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）=a，
即有f（x）的图象关于点（0，$\frac{a}{2}$）对称．
则在区间[-2015，2015]上有m+n=a，
又m+n=a²-2，则a²-a-2=0，
解得a=-1或2．
故答案为：-1或2．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查对称性的运用，考查运算能力，属于中档题．