Question

2．在锐角三角形ABC中，A=2B，a，b，c所对的角分别为A、B、C，求$\frac{a}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可解得$\frac{a}{b}$=2cosB，由$0＜A＜\frac{π}{2}$，可得$0＜B＜\frac{π}{4}$，解得cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），即可解得$\frac{a}{b}$的取值范围．

解答 解：∵锐角三角形ABC中，A=2B，sinB≠0，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sin2B}=\frac{a}{2sinBcosB}$，
∴$\frac{a}{b}$=2cosB，
∵$0＜A＜\frac{π}{2}$，可得$0＜B＜\frac{π}{4}$，
∴cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴$\frac{a}{b}$=2cosB∈（$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题．