Question

已知函数f（x）=﹣x³+ax²﹣4．
（1） 若f（x）在处取得极值，求实数a的值；
（2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3） 若存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=﹣3x²+2ax，
由题意得，解得a=2，
经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=﹣x³+2x²﹣4，f'（x）=﹣3x²+4x，
令f'（x）=0，则x₁=0，（舍去）．
f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴f（x）_极小值=f（0）=﹣4，
如图构造f（x）在[﹣1，1]上的图象．

又关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，
则﹣4＜m≦3，即m的取值范围是（﹣4，﹣3]．
（3）解法一：因存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）_max＞0即可，
∴f（x）=﹣x³+ax²﹣4，
∴．
①若a≦0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=﹣4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜﹣4＜0，
∴当a≦0时，不存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立．
②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：

∴当x∈（0，+∞）时，，
由得a＞3．
综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即﹣x³+ax²﹣4＞0在（0，+∞）上有解．
即不等式在（0，+∞）上有解即可．
令，只需要a＞g（x）_min
而，
当且仅当，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）。