Question

4．已知f（x）=x²（x-a），若：
（1）f（x）在（2，3）上单调，求a的范围；
（2）f（x）在（2，3）上不单调，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）先求f′（x）=3x²-2ax，根据题意便知f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（2，3）上是恒成立的，这样便可得到$a≤\frac{3x}{2}$，或$a≥\frac{3x}{2}$恒成立，这样根据x的范围便能得到$\frac{3x}{2}$的范围，从而得出a的范围；
（2）根据f（x）在（2，3）上不单调，从而f′（x）=0的解在（2，3）内，从而能得到$2＜\frac{2a}{3}＜3$，这样解出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax；
f（x）在（2，3）上单调；
∴f′（x）在（2，3）上满足f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立；
∴3x²-2ax≥0，或3x²-2ax≤0恒成立；
∴$a≤\frac{3}{2}x，或a≥\frac{3}{2}x$；
∵$3＜\frac{3x}{2}＜\frac{9}{2}$；
∴$a≤3，或a≥\frac{9}{2}$；
∴a的范围为：$（-∞，3]∪[\frac{9}{2}，+∞）$；
（2）f（x）在（2，3）上不单调；
∴f（x）在（2，3）上有极值；
∴f′（x）=0的解在（2，3）内；
令3x²-2ax=0得，x=$\frac{2a}{3}$；
∴$2＜\frac{2a}{3}＜3$；
解得$3＜a＜\frac{9}{2}$；
∴a的范围为：（3，$\frac{9}{2}$）．

点评 考查函数的单调性和函数导数符号的关系，根据$a≤\frac{3x}{2}$恒成立求a的范围的方法，函数极值的概念，根据导数判断极值的方法，函数在一区间上不单调时，便存在极值．