Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．
（Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意建立空间直角坐标系，通过法向量求出平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值．
（Ⅱ）假设在DE存在一点P，设出坐标，根据CP⊥面DEF，得到所以与平面DEF的法向量n₂共线，求出λ，得到DP即可．
解答：解：以O为原点，OB，OC，Oz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
C（0，，0），D（1，0，1），E（0，，3），F（-1，0，2）．
（Ⅰ）平面ABC的法向量为n₁=（0，01）．
设平面DEF的法向量为n₂=（x，y，z），=（-1，，2）．
由得所以
取x=1，得n₂=（1，-，2）．
所以cos＜m₁，m₂＞===，所以平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为．

（Ⅱ）假设在DE存在一点P，设P（x，y，z），
因为=λ，故（x-1，y，z-1）=λ（-1，，2），
所以P（-λ+1，λ，2λ+1），所以CP=（-λ+1，λ-，2λ+1）．
因为平CP⊥面DEF，所以与平面DEF的法向量n₂共线，
所以==，解得λ=，
所以=，即|DP|=|DE|，所以DP=．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及与二面角相关的立体几何问题综合运用．通过数形结合，以及对知识的综合考查，达到考查学生基本能力的目的，属于中档题．