Question

【题目】已知

(I)判断f(x)的奇偶性并证明

(Ⅱ)若a>1,判断f(x)的单调性并用单调性定义证明;

(Ⅲ)若,求实数x的取值范围

Answer 1

【答案】(I)见解析；(II) 见解析；(III)

【解析】试题分析：(1)求解即可.

(2)运用单调性证明则f(x1)－f(x2)＝loga－loga＝loga.判断符号即可.
(3)根据单调性转化－1＜x－3≤求解.

试题解析：(I)由得，∴函数f(x)的定义域为(－1,1) 关于原点对称.

f(x)在(－1,1)上为奇函数，证明如下：

，

∴f(x)为(－1,1)上的奇函数．

(II) 若，f(x)在(－1,1)上单调递增，证明如下：

设－1＜x1＜x2＜1，

则f(x1)－f(x2)＝loga－loga＝loga.

又－1＜x1＜x2＜1，

∴(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)＜0，

即0＜(1＋x1)(1－x2)＜(1－x1)(1＋x2)，

∴0＜＜1，∴loga＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上单调递增．

(III)∵f(x)为(－1,1)上的奇函数，

∴f(x－3) ≤－f(－)＝f()．

若，f(x)在(－1,1)上单调递增，

∴－1＜x－3≤，得2＜x≤.

若，f(x)在(－1,1)上单调递减，

∴≤x－3＜1，得≤x＜4.

综上可知，当时，实数x的取值范围为；

当时，实数x的取值范围为

点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域(－1,1).