Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：2m2=4k2+3；
（3）求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得： ，a=2，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．

∴椭圆E的方程为 =1

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△＞0，∴x1+x2= ，x1x2= ，

∵ ．

∴ =﹣ ，即3x1x2+4y1y2=0，

∴3x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，

化为：（3+4k2）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=0，

∴（3+4k2） +4km +4m2=0，

化为：2m2=4k2+3

（3）解：由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，

化为：4k2+3＞m2，∴4k2+3 ，∴k∈R．

|AB|=

=

=

= = ∈ ．

当且仅当k=0时，|AB|的最大值2

【解析】（1）根据椭圆的基本性质解题；（2）本小题主要应用了根与系数的关系来化简计算过程；（3）先根据（2）判断点A，点B的存在性，再根据两点间的距离公式线段AB长的表达式，最后求得线段AB的最大值.