【题目】如右图抛物线顶点在原点,圆(x﹣2)2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点,
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)一直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点,求|AB|+|CD|的值.
【答案】解:(Ⅰ)设抛物线方程为y2=2px(p>0),
∵圆(x﹣2)2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点,∴p=4.
∴抛物线的方程为:y2=8x;
(Ⅱ)依题意直线AB的方程为y=2x﹣4
设A(x1,y1),D(x2,y2),则 ,得x2﹣6x+4=0,
∴x1+x2=6,|AD|=x1+x2+p=6+4=10.
|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|=10﹣4=6.
【解析】(Ⅰ)本小题根据圆的方程确定圆的圆心,即确定抛物线的焦点坐标,进而求得抛物线的方程;(Ⅱ)本小题先根据所知条件求得直线AB的方程,再与抛物线方程联立求得以点A,点B横坐标为根的一元二次方程,再有抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的特点得到:|AD|=x1+x2+p,最后由|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|求得|AB|+|CD|的值.
【考点精析】通过灵活运用圆的标准方程,掌握圆的标准方程:;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程即可以解答此题.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A,以A为圆心的圆A:(x﹣2)2+y2=r2(r>0)与圆O交于B,C两点.
(1)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当线段DE长最小时,求直线l的方程;
(2)设P是圆O上异于B,C的任意一点,直线PB、PC分别与x轴交于点M和N,问OMON是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数,有如下结论
①函数f(x)的值域是[-1,1];
②函数f(x)的减区间为[1,3];
③若存在实数x1、x2、x3、x4,满足x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则x1+x2<0;
④在③的条件下x3+x4=6;
⑤若方程f(x)=a有3个解,则<a≤1
其中正确的是
A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②③⑤ D. ①③④
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【题目】已知椭圆 的离心率为
,它的一个焦点到短轴顶点的距离为2,动直线l:y=kx+m交椭圆E于A、B两点,设直线OA、OB的斜率都存在,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:2m2=4k2+3;
(3)求|AB|的最大值.
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【题目】直线l1 , l2分别过点A(3 ,2),B(
,6),它们分别绕点A,B旋转,但始终保持l1⊥l2 . 若l1与l2的交点为P,坐标原点为O,则线段OP长度的取值范围是( )
A.[3,9]
B.[3,6]
C.[6,9]
D.[9,+∞)
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【题目】定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一个项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列就叫做“等和数列”,这个常数叫做公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为6,求这个数列的前n项的和S= .
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【题目】对某班50人进行智力测验,其得分如下:
48,64,52,86,71,48,64,41,86,79,71,68,82,84,68,64,62,68,81,57,90,52,74,73,56,78,47,66,55,64,56,88,69,40,73,97,68,56,67,59,70,52,79,44,55,69,62,58,32,58.
(1)这次测试成绩的最大值和最小值各是多少?
(2)将[30,100)平分成7个小区间,试画出该班学生智力测验成绩的频数分布图.
(3)分析这个频数分布图,你能得出什么结论?
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