Question

如图，在三棱锥S ­ABC中，平面EFGH分别与BC，CA，AS，SB交于点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.

求证：(1)AB∥平面EFGH；
(2)GH∥EF；
(3)GH⊥平面SAC.

Answer 1

见解析

证明(1)因为SA⊥平面EFGH，GH?平面EFGH，
所以SA⊥GH.
又因为SA⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB内，
所以AB∥GH.
因为AB?平面EFGH，GH?平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
(2)因为AB∥平面EFGH，AB?平面ABC，
平面ABC∩平面EFGH＝EF，
所以AB∥EF.
又因为AB∥GH，所以GH∥EF.
(3)因为SA⊥平面EFGH，SA?平面SAC，
所以平面EFGH⊥平面SAC，交线为FG.
因为GH∥EF，EF⊥FG，所以GH⊥FG.
又因为GH?平面EFGH，
所以GH⊥平面SAC.