Question

为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)？

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小． 　　根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，得b＝(0＜a＜30)． 　　于是y＝． 　　∵＝时， 　　a＝6或a＝－10(舍)，由于本题只有一个极值点， 　　故a＝6，此时b＝3即为所求，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 　　解法二：依题意，即所求a、b值使ab最大． 　　由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 　　即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0)． 　　∵a＋2b≥，∴＋ab≤30， 　　当且仅当a＝2b时上式取等号． 　　由a＞0，b＞0．解得0＜ab≤18， 　　即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18，由2b2＝18． 　　解得b＝3，此时a＝6． 　　故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．