Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．

Answer 1

分析：先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用基本不等式求．

解答：解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y=

k

ab

，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=

30-a

2+a

（0＜a＜30）．①
于是y=

k

ab

=

k

30a-a2 2+a

=

k

-a+32- 64 a+2

=

k

34-(a+2+ 64 a+2 )

≥

k

34-2 (a+2)• 64 a+2

=

k

18

，
当a+2=

64

a+2

时取等号，y达到最小值．
这时a=6，a=-10（舍去）．
将a=6代入①式得b=3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因为a+2b≥2

2ab

，
所以2

2

ab

+ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18．
所以2b²=18．解得b=3，a=6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

点评：本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．