Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a m，高为b m，已知流出的水中杂质的质量分数与乘积ab成反比，现有制箱材料60 m²，问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A、B孔的面积忽略不计)

Answer 1

思路分析:要抓住本题的主要条件及要求:①流出的杂质与ab成反比，若设y为流出的杂质的质量分数，那么y=,其中k为反比例系数;②题目要求流出的杂质质量分数最小，就是积ab为最大.

解法一:设y为流出的杂质的质量分数，

则y=,k＞0,k为比例系数，

依题意，即所求的a,b的值，使y最小.

依题设，有4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),

得b=(0＜a＜30).①

于是y=

当a+2=时取等号，y达到最小值.

这时a=6,a=-10(舍去)，将a=6代入①得b=3.

∴当a为6 m,b为3 m时，沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.

解法二:设流出的水中杂质的质量分数为y,依题意y=.

其中k为比例系数,k＞0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值.

依题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0).

∵a+2b≥(当且仅当a=2b时取“=”),

∴ab+≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,

即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小.