Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m²，问当a、b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计）.

Answer 1

解法一:设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=(k＞0)，其中k为比例系数.

又据题设2×2b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0），

∴b=(由a＞0,b＞0,可得a＜30),

∴y==.令t=a+2,则a=t-2,

从而==

=34-(t+)≤34-2=18,

∴y=

当且仅当t=,即t=8时取等号,

∴a=6时取“=”.由a=6可得b=3.

综上所述，当a=6 m,b=3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.

解法二:设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y=，其中k为比例系数，k＞0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值.

题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0),∵a+2b≥2(当且仅当a=2b时取“=”)，∴ab+2≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.

即a=6,b=3时，ab取最大值，从而y值最小.

温馨提示

形如y=的分式函数，求最值时常常等价转化为函数y=+bx(a＞0,b＞0,x＞0)，再求最值.等价转化的步骤为:

（1）变量替换，目的是使分母变单项式，易分离系数.

（2）分离系数，化归成可用均值不等式求最值的问题.

（3）变量换成z,注意z＞0.

（4）若满足“一正、二定、三相等”，用均值不等式求解.

若不满足“一正、二定、三相等”，用函数y=+bx的单调性求解.

此类题常见的错误是直接套用均值不等式，忽视等号取不到这一点.