【题目】设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N* , 都有(an﹣1)(an+3)=4Sn , 其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证数列{an}是等差数列;
(2)若数列{ }的前n项和为Tn , 求Tn .
【答案】
(1)解:∵对任意n∈N*,都有(an﹣1)(an+3)=4Sn,即 .
∴当n≥2时,4an=4(Sn﹣Sn﹣1)= ﹣
=
﹣2an﹣1,
化为(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵对任意n∈N*,an>0.
∴an+an﹣1>0.
∴an﹣an﹣1=2.
∴数列{an}是等差数列,公差为2
(2)解:由(1),a1=3,d=2,∴an=3+2(n﹣1)=2n+1.
∴ =4n(n+1),
∴ =
=
,n∈N*;
∴Tn=
【解析】(1)由已知利用“当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可求得an与an﹣1的关系,进而证明数列{an}是等差数列.(2)利用(1)可得 =
=
,n∈N* , 再利用“裂项求和”即可得出.
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【题目】已知数列{bn}满足bn=| |,其中a1=2,an+1=
.
(1)求b1 , b2 , b3 , 并猜想bn的表达式(不必写出证明过程);
(2)由(1)写出数列{bn}的前n项和Sn , 并用数学归纳法证明.
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【题目】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2, .
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
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【题目】已知奇函数f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,则不等式f( )+f(2x﹣1)>0的解集是( )
A.(﹣∞, )
B.[﹣ ,+∞)
C.(﹣6,﹣ )
D.(﹣ ,
)
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 )的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
,且图象上一个最低点为
. (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当 ,求f(x)的值域.
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【题目】已知点A(0,2),B(4,6), =t1
+t2
,其中t1、t2为实数;
(1)若点M在第二或第三象限,且t1=2,求t2的取值范围;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何值,A、B、M三点共线;
(3)若t1=a2 , ⊥
,且△ABM的面积为12,求a和t2的值.
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【题目】如图,已知直线l1:kx+y=0和直线l2:kx+y+b=0(b>0),射线OC的一个法向量为 =(﹣k,1),点O为坐标原点,且k≥0,直线l1和l2之间的距离为2,点A、B分别是直线l1、l2上的动点,P(4,2),PM⊥l1于点M,PN⊥OC于点N;
(1)若k=1,求|OM|+|ON|的值;
(2)若| |=8,求
的最大值;
(3)若k=0,AB⊥l2 , 且Q(﹣4,﹣4),试求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值.
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【题目】某个部件由三个元件按图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作(其中元件1,2,3正常工作的概率都为 ),设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10,且a2 , a3 , a7成等比数列.
(Ⅰ)求通项公式an
(Ⅱ)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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