Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，n∈n*，求证：
（1）当m＜n（m∈N^*）时，f(n)-f(m)＞

n-m

n

；
（2）当n＞1时，f(2n)＞

n+2

2

；
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N₀，使得当n＞N₀时，有f（n）＞M．

Answer 1

分析：（1）当m＜n时，考察f（n）与（m）的差f（n）-f（m），结合放缩法即可证得；
（2）当n＞1时，f(2n)=1+

1

2

+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

)利用放缩法结合等比数列的求和公式即得结论；
（3）由于f(n+1)-f(n)=

1

n+1

＞0，得出f（n）在N^*上单调递增．由（2）可知，当n＞1时，f(2n)＞1+

n

2

＞

n

2

．对任意给定的正数M，设M₀是比M大的最小正整数，取N0=22 M0，则当n＞N₀时，有f（n）＞M．

解答：证明：（1）当m＜n时，
f（n）-f（m）=

1

m+1

+

1

m+2

+…+

1

n

≥

1

n

+

1

n

+…+

1

n

=

n-m

n

．
（2）当n＞1时，
f(2n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

=1+

1

2

+( 

1

3

+

1

4

 )+…+( 

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

 )＞1+

1

2

+

2

4

+…+

2n-1

2n

=1+

n

2

=

n+2

2

；
（3）∵f(n+1)-f(n)=

1

n+1

＞0，
∴f（n）在N^*上单调递增．
由（2）可知，当n＞1时，f(2n)＞1+

n

2

＞

n

2

．对任意给定的正数M，设M₀是比M大的最小正整数，
取N0=22 M0，则当n＞N₀时，f(n)＞f(N0)=f(22 M0)＞

2 M0

2

=M0＞M．

点评：本小题主要考查综合法与分析法、不等式的证法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．