Question

已知锐角△ABC的三个内角A、B、C对边分别是 a、b、c，

a+b

cosA+cosB

=

c

cosC

．
（1）求证：角A、C、B成等差数列；
（2）若角A是△的最大内角，求cos（B+C）+

3

sinA的范围
（3）若△ABC的面积S_△ABC=

3

，求△ABC 周长的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,基本不等式

专题：综合题,解三角形

分析：（1）用正弦定理化边为角，化简得sin（A-C）=sin（C-B），利用正弦函数的单调性可得A-C=C-B；
（2）cos（B+C）+

3

sinA可化简为2sin(A-

π

6

)，由题意得

π

3

≤A＜

π

2

，

π

6

≤A-

π

6

＜

π

3

，据此可得结果；
（3）易求C=

π

3

，利用面积公式可得ab=4，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，利用基本不等式即可求得a+b+c的最小值；

解答： 解：（1）根据题意，在△ABC中，
由正弦定理得

sinA+sinB

cosA+cosB

=

sinC

cosC

，即sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sin（A-C）=sin（C-B），
又A、B、C∈(0，

π

2

)，∴-

π

2

＜A-C＜

π

2

、-

π

2

＜C-B＜

π

2

，
而y=sinx在(-

π

2

，

π

2

)内单调递增，
∴A-C=C-B，即2C=A+B，角A、C、B成等差数列．
（2）在△ABC中，B+C=π-A，
∴cos(B+C)+

3

sinA=

3

sinA-cosA=2sin(A-

π

6

)，
由题意得

π

3

≤A＜

π

2

，

π

6

≤A-

π

6

＜

π

3

，
∴sin（A-

π

6

）∈[

1

2

，

3

2

)；
（3）由A+B+C=π及2C=A+B，得C=

π

3

，
∴S△ABC=

1

2

absinC=

3

⇒ab=4，
又c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
∴a+b+c=a+b+

a2+b2-ab

≥2

ab

+

2ab-ab

=3

ab

=6，
当且仅当a=b时，取等号，
∴△ABC的周长的最小值是6．

点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查利用基本不等式求函数最值，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．