Question

已知函数（其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（-x）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得：

=
=．
因为函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，
所以T=，所以，
所以．
由f（x）=1可得sin（+）=．
∴cos（-x）=cos（x-）=-cos（x+）
=-[1-2sin²（+）]=2•（ ）²-1=-．
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，并且结合正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=，B=，
∴0＜A＜．
∴＜+＜，所以＜sin（+）＜1．
又∵f（x）=sin（+）+，
∴f（A）=sin（+）+．
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
分析：（I）根据二倍角公式与两角和的正弦公式可得：f（x）=，根据题意可得函数的周期，即可得到函数的解析式，进而根据二倍角公式求出答案．
（II）根据题意结合正弦定理可得：2sinAcosB=sin（B+C），所以cosB=，B=，所以可得＜+＜，所以＜sin（+）＜1，结合f（x）的解析式即可求出函数f（A）的取值范围．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握三角的有关公式与正弦定理，以及三角函数的有关性质．