Question

（2013•湖南）过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（Ⅰ）若k₁＞0，k₂＞0，证明：

FM

•

FN

＜2p2；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为

7 5

5

，求抛物线E的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量

FM

和

FN

的坐标，求出数量积后转化为关于k₁和k₂的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；
（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k₁+k₂=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于

7 5

5

求出p的值，则抛物线E的方程可求．

解答：解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为F(0，

p

2

)，直线l₁的方程为y=k1x+

p

2

．
由

y=k1x+ p 2 x2=2py

，得x2-2pk1x-p2=0．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实数根．
从而x₁+x₂=2pk₁，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p．
所以点M的坐标为(pk1，pk12+

p

2

)，

FM

=(pk1，pk12)．
同理可得点N的坐标为(pk2，pk22+

p

2

)，

FN

=(pk2，pk22)．
于是

FM

•

FN

=p2(k1k2+k12k22)．
由题设k₁+k₂=2，k₁＞0，k₂＞0，k₁≠k₂，所以0＜k1k2＜(

k1+k2

2

)2=1．
故

FM

•

FN

＜p2(1+12)=2p2．
（Ⅱ）由抛物线的定义得|FA|=y1+

p

2

，|FB|=y2+

p

2

，
所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p，从而圆M的半径r1=pk12+p．
故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-pk12-

p

2

)2=(pk12+p)2，
化简得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-

3

4

p2=0．
同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-

3

4

p2=0
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0．
又k₂-k₁≠0，k₁+k₂=2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
d=

|2pk12+pk1+p|

5

=

p|2k12+k1+1|

5

=

p[2(k1+ 1 4 )2+ 7 8 ]

5

．
故当k1=-

1

4

时，d取最小值

7p

8 5

．由题设

7p

8 5

=

7 5

5

，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x²=16y．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．