Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求二面角A-BC-P的大小；
（4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）证明BG⊥AD，通过平面与平面垂直的性质，即可证明BG⊥平面PAD．
（2）连接PG，证明PG⊥AD，通过BG⊥AD，证明AD⊥平面PGB，然后证明AD⊥PB．
（3）证明∠PBG为二面角A-BC-P的平面角，即可得到结论；
（4）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
通过证明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可证明平面DEF⊥平面ABCD．

解答：（1）证明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BG⊥平面PAD．
（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，
得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB?平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）解：由（2）知，PG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．
因为BG⊥AD，所以BG⊥BC，
所以∠PBG为二面角A-BC-P的平面角
因为PG=BG=

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a，所以∠PBG=45°；
（4）解：当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．

点评：本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的证明，考查空间角，考查空间想象能力，逻辑推理能力．