Question

【题目】已知函数.

（1）当任意取值时，的图象始终经过一个定点，若的图象在该定点处取得极值，求的值；

（2）求证：函数有唯一零点的充分不必要条件是.

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）根据，得到定点，然后求导，根据的图象在该定点处取得极值求解.

（2）分不必要性和充分性论证，证不必要性时，根据（1）取论证. 证充分性时，根据，所以已经有零点1，只需要证明函数再无其它零点即可，然后.根据，分和两种情况论证即可.

（1）由可得，，

所以的图象始终经过一个定点，

因为.

因为的图象在该定点处取得极值，所以，所以，

当时，，满足：在左右侧异号，

所以符合题意；

（2）不必要性：

当时，，

在上，，在上，，

所以在上递增，在上递减，

所以，

所以当时，函数有唯一零点1，

所以当是函数有唯一零点的不必要条件；

充分性：

因为，所以已经有零点1，下面只需要证明函数再无其它零点了.

因为且时，，

所以在上无零点，

因为，

当，且时，，所以，

所以在递增，所以当时，，

所以在时也无零点，

所以时，有唯一零点1，

所以是有唯一零点的充分条件.